Tablas, gráficas y funciones.

En mis clases intento explicar funciones antes que ecuaciones. De hecho, también las operaciones algebraicas van detrás del concepto de función. Entonces, ¿cómo empiezo a explicarlas?

Lo primero que hago es dictarles un texto largo y aburrido que refleje valores obtenidos de algún fenómeno cotidiano que pueda ser expresado fácilmente como una función matemática (cinemática, evolución de una cuenta bancaria, la factura de un teléfono...). Cuando están aburridos y/o cabreados les doy la razón, les digo que como han podido observar la prosa no siempre es la herramienta más útil para comunicarse, ¡que existen las tablas!

De aquí voy directo a la historia/prehistoria de la humanidad. Les digo que las tablas, donde se correlacionan dos o más magnitudes y/o hechos, podrían ser hasta incluso anteriores a la escritura, les pongo como ejemplo el hueso de Ishango de unos 20.000 años de antigüedad.

En realidad las tablas se pueden considerar la evolución de un método de comunicación todavía más antiguo y poderoso, ¡las infografías! Opino que, en el fondo, algunas pinturas rupestres (escenas de caza, representaciones realistas de animales...) son infografías.

¡Échale un simple vistazo al techo "astronómico" de la tumba de Senenmut (1500 años a.C)! ¿No crees que deja claro todo lo que estoy diciendo?

Pero me centro, que estoy desvariando.

Les explico todo esto para que se den cuenta de que las tablas son algo simple y que con un mínimo de interés pueden entenderlas.

Otra cosa muy distinta son las gráficas.

¡Lo sé! La gran mayoría de vosotros estaréis pensando que las gráficas son algo simple. Pero ¡no! no lo son. Una gráfica no es intuitiva, necesita un esfuerzo para ser leída. ¡Y la prueba es que la humanidad tardó mucho en utilizarlas!

La verdad es que la historia de las representaciones gráficas me parece interesantísima. De todo lo que he leído destaco las representaciones gráficas en Matemáticas: un estudio histórico-crítico (conferencia inaugural de JAEM VII) de Emma Castelnuovo y Gráficos de César Tomé López (@EDocet). Ambos textos dicen que, alrededor del 1800 d.C, se generalizó el uso de los gráficos. Recomiendo que leáis ambos porque cargan las tintas en matices distintos y, a mi juicio, se complementan de manera armoniosa.

¡Que me despisto!

Mi idea al hablarles a mis alumos de todo esto es que asuman que tienen que aprender a interpretar gráficos porque son algo totalmente distinto a las tablas. Al principio no son intuitivos y, aunque no son especialmente difíciles, siguen unas normas que deben de conocer.

Obviamente explico distintos tipos, les hago ejercicios de interpretación de dichos gráficos... y al final busco que se les queda claro que, aunque sean algo menos intuitivo que las tablas al principio, al final ofrecen una información al que sabe "leerlos" muy útil y simple porque se han transformado en intuitivos: se observan fácilmente las tendencias, los puntos de inflexión, se encuentran de manera aproximada los datos de la tabla, son más fáciles de recordar, te dan una visión de conjunto...

Es cierto que puede perderse precisión pero… condensar una cantidad de información en unas cuantos trazos de líneas es algo impresionante. Para hacerles entender esto siempre les hablo de las tablas alfonsíes y les intento hacer comprender que, con unos cuantos gráficos, podría haberse compilado toda esa información y haberla hecho mucho más útil.

Yo siempre les digo que las gráficas han sido, junto a muchos otros procedimientos, un gran logro para la historia de la transmisión del conocimiento humano.

Pero... ¡ojo! También hay que advertirles que, precisamente por esa "lejanía" de la intuición, al no iniciado le pueden tomar el pelo con facilidad. Existe mucha bibliografía sobre como manipular usando gráficos, por ejemplo a mí me ha gustado el artículo de Jaime Rubio Hancock Cómo reconocer un gráfico que quiere manipularte (o que está mal hecho)

Actualización del 20/02/16: la charla de @Enchufa2 "Malas gráficas" resume muy bien este párrafo (vedla y disfrutad de ella)

Por otro lado también les digo que las correlaciones que existen entre las magnitudes (o hechos) no tienen por qué significar causalidad. Es decir, que dos magnitudes pueden tener la misma evolución temporal, o evolucionar igual relacionándolas con hechos ocurridos, y en realidad no tener nada que ver la una con la otra. Esto lo explica muy bien @waltzing_piglet en Cómo tomarte el pelo con gráficas muy "chulis" (además tiene el enlace a una web que se dedica exclusivamente a ¡correlación no significa causalidad!).

Y por fin llegamos a las funciones. ¡Sí! Todo este rodeo ha sido para explicar funciones.

Recordáis que les dictaba un texto, pues... De ese texto los alumnos sacaban la tabla y hacían unos ejercicios relacionados con la interpretación de la tabla (ejercicios que no podían hacer tan fácilmente mirando el texto). Después representaban los datos en una gráfica y, obviamente, les mandaba ejercicios que hacían mirando la gráfica (ejercicios difícilmente realizables con la tabla). Y finalmente les pongo la función que condensa toda la información y les intento hacer entender lo increíble y maravilloso que es que en unos pocos caracteres quede condensado todo lo relevante del texto inicial. Lógicamente hacen ejercicios donde ven que pueden obtener la misma información que obtenían en todos los ejercicios anteriores.

Este año los alumnos no llegaban a creerse que todos nosotros viéramos a la función como una tabla. Se me ocurrió poner un tweet pidiendo ayuda y, en unos 5 minutos, @profccnn les dejó claro lo que yo quería demostrar, aprovecho para darle las gracias.

Y una cosilla más.

Muchos de nosotros cuando vemos una función sabemos que puede ser representada por una gráfica, además sabemos que en el fondo ¡es una tabla disfrazada!

Pero mucha gente cuando ve una función se asusta. Simple y llanamente ven un artificio matemático que no comprenden y que está lejos de su mundo.

Un ejemplo clamoroso, y que uso en mis clases, fue cuando el actual Ministro de Hacienda puso en una rueda de prensa la "formulica" con la que se podía calcular el dinero que cobraría cada uno de los futuros becarios universitarios. Yo, a mis alumnos, les pongo la entrevista que le hicieron a @tocamates en Cadena Ser y que trata del uso incorrecto que el Ministro hizo de aquella fórmula (la puedes oír aquí), luego les hago algunas preguntas tipo test sobre la entrevista y finalmente, con la fórmula en la pizarra, hacemos una simulación: cada alumno se inventa su renta, su nota... hace los cálculos y ven lo que cobrarían; reflejamos todos los resultados en una tabla

Nota final:

Me imagino que ha quedado todo claro, solo decir que antes de explicar tablas-gráficas-funciones explico proporcionalidad directa (e inversa) y como hacer cálculos usando fórmulas. Pero esas son otras "historias" que en otro momento contaré.